Sudoku – Un article de Wikipédia, l’encyclopédie libre.
Le sudoku (prononcé /sudoku/ en français, /s??dok?/ en japonais), est un jeu en forme de grille défini en 1979 et inspiré du carré latin ainsi que du problème des 36 officiers du mathématicien suisse Leonhard Euler.

Le but du jeu est de remplir cette grille avec une série de chiffres (ou de lettres ou de symboles) tous différents, qui ne se trouvent jamais plus d’une fois sur une même ligne, dans une même colonne ou dans une même sous-grille.

La plupart du temps, les symboles sont des chiffres allant de 1 à 9, les sous-grilles étant alors des carrés de 3 x 3.

Quelques symboles sont déjà disposés dans la grille, ce qui autorise une résolution progressive du problème complet.
Sommaire
[masquer]

* 1 Présentation
* 2 Étymologie
* 3 Historique
o 3.1 Antiquité
+ 3.1.1 Inde et Chine
o 3.2 Moyen Âge
o 3.3 Renaissance
+ 3.3.1 En occident
o 3.4 Le problème des officiers
o 3.5 La version moderne du sudoku
o 3.6 Un autre ancêtre du sudoku : le carré latin magique
o 3.7 Popularité dans les médias
* 4 Variantes
o 4.1 Variantes alphabétiques
* 5 Nombre de grilles complètes possibles
* 6 Mathématiques
* 7 Règles et terminologie
* 8 Méthode de résolution
o 8.1 Recherche
o 8.2 Candidature
o 8.3 Analyse
+ 8.3.1 Symétries généralisées et tableau de résolution étendu
+ 8.3.2 Grille-Conjointe; changer de situation pour résolution plus poussée
+ 8.3.3 Stratégie des chemins; résoudre des cas plus complexes
+ 8.3.4 Une technique « à part » : principe de l’unicité de la solution
+ 8.3.5 Stratégie de dernier recours : formulation claire et nette des hypothèses
* 9 Solutions logicielles
* 10 Degrés de difficulté
o 10.1 Type 1
o 10.2 Type 2
o 10.3 Type 3
o 10.4 Type 4
o 10.5 Type 5
* 11 Construction
* 12 Voir aussi
o 12.1 Articles connexes
o 12.2 Liens externes
o 12.3 Bibliographie
* 13 Sources
* 14 Notes et références

Présentation [modifier]
Une grille 9×9 de sudoku (cliquer sur l’image pour voir la solution, qui apparaît au bas)
Une grille 9×9 de sudoku (cliquer sur l’image pour voir la solution, qui apparaît au bas)

La grille de jeu présentée à droite, à titre d’exemple, est un carré de neuf cases de côté, subdivisé en autant de sous-grilles carrées identiques, appelées régions.

La règle du jeu sudoku générique, donnée en début d’article, se traduit ici simplement : chaque ligne, colonne et région ne doit contenir qu’une seule fois tous les chiffres de un à neuf. Formulé autrement, chacun de ces ensembles doit contenir tous les chiffres de un à neuf.

Les chiffres ne sont utilisés que par convention, les relations arithmétiques entre eux ne servant pas. N’importe quel ensemble de signes distincts – lettres, formes, couleurs, symboles – peut être utilisé sans changer les règles du jeu. Dell Magazine, le premier à publier des grilles, a utilisé des chiffres dans ses publications. Par contre, Scramblets, de Penny Press, et Sudoku Word, de Knight Features Syndicate, utilisent tous les deux des lettres.

L’intérêt du jeu réside dans la simplicité de ses règles, et dans la complexité de ses solutions. Les grilles publiées ont souvent un niveau de difficulté indicatif. L’éditeur peut aussi indiquer un temps de résolution probable. Quoiqu’en général les grilles contenant le plus de chiffres préremplis soient les plus simples, l’inverse n’est pas systématiquement vrai. La véritable difficulté du jeu réside plutôt dans la difficulté de trouver la suite exacte des chiffres à ajouter.

Ce jeu a déjà inspiré plusieurs versions électroniques qui apportent un intérêt différent à la résolution des grilles de sudoku. Sa forme en grille et son utilisation ludique le rapprochent d’autres casse-tête publiés dans les journaux, tels les mots croisés et les problèmes d’échecs.

Des professeurs recommandent la pratique du sudoku comme un entraînement aux raisonnements logiques. Le niveau de difficulté peut dans ce cas être adapté au public. Le sudoku entre maintenant dans certains tests universitaires.

Des grilles sont publiées dans des journaux, mais peuvent aussi être générées à la demande sur Internet.

Étymologie [modifier]

Le nom sudoku (??) est né de l’abréviation de la règle du jeu japonaise « S?ji wa dokushin ni kagiru » (????????, « S?ji wa dokushin ni kagiru »?), signifiant « il ne peut y avoir qu’un seul et unique chiffre » (par case et par ligne). Cette abréviation associe les caractères S? (?) chiffre et Doku (?) unique. Ce nom est une marque déposée au Japon de l’éditeur Nikoli Corporation Ltd.. En japonais, ce mot est prononcé [s??dok?] ; en français, il est couramment employé avec une prononciation francisée, c’est-à-dire en ignorant la voyelle longue présente sur le premier « u » et en modifiant légèrement le timbre des voyelles « u » : [sudoku]. Au Japon, Nikoli est toujours propriétaire du nom sudoku ; ses concurrents utilisent donc un autre nom : ils peuvent renvoyer au jeu par le nom américain original « Number Place » (anglais : Place Numérale), ou encore par le mot « Nampure », plus court. Quelques éditeurs non japonais orthographient le titre « Su Doku ».

Historique [modifier]

Antiquité [modifier]

Un des ancêtres du sudoku était un carré de neuf cases à remplir par trois lettres (A, B et C) sans qu’une même lettre apparaisse deux fois dans la même colonne, ligne ou diagonale.

Inde et Chine [modifier]

Les plus anciens « carrés magiques » numériques connus se trouvent en Chine (nommé Luoshu ??, le livre de la rivière Luo ) où les chiffres étaient représentés par différentes formes géométriques contenant n ronds[1] (vers -300), et en Inde où furent inventés ce que nous appellons les chiffres arabes. Ils ont à l’origine des significations divinatoires.

Moyen Âge [modifier]

Ce sont les arabes qui au Xe siècle auraient donné les premiers une application purement mathématique et non plus sacrée aux carrés magiques.

Renaissance [modifier]

En occident [modifier]

Cornelius Agrippa (1486-1535), utilise des carrés magiques toujours dans un but ésotérique.

Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601(ou 1607)-1665) travailla sur les carrés magiques et les étendit aux cubes magiques.

En 1691 Simon de La Loubère explique le fonctionnement du carré magique utilisé au Siam, dans son ouvrage Du Royaume de Siam, où celui-ci possède une fonction sacrée.

Le problème des officiers [modifier]
Problème des 36 officiers : un carré gréco-latin d’ordre 6 est impossible à résoudre
Problème des 36 officiers : un carré gréco-latin d’ordre 6 est impossible à résoudre

En 1782, le mathématicien suisse Leonhard Euler imagine un problème dans une grille. Certains attribuent donc la paternité du sudoku au Suisse, bien que les travaux d’Euler concernassent les carrés latins et la théorie des graphes.

On considère six régiments différents, chaque régiment possède six officiers de grades distincts. On se demande maintenant comment placer les 36 officiers dans une grille de 6×6, à raison d’un officier par case, de telle manière que chaque ligne et chaque colonne contienne tous les grades et tous les régiments.

Il s’agit en d’autres termes d’un carré gréco-latin d’ordre 6 (la combinaison de deux carrés latins, un carré latin pour les régiments, un carré latin pour les grades), problème dont la résolution est impossible. Euler l’avait déjà pressenti à l’époque, sans toutefois donner une démonstration formelle à sa conjecture. Il dira :

« Or, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître qu’un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse. »

En 1901, le Français Gaston Tarry démontre l’impossibilité du résultat grâce à une recherche exhaustive des cas et par croisement des résultats.

Le lien entre le sudoku et le problème des 36 officiers est la contrainte qui empêche la répétition du même élément dans la grille, tout en arrivant au final à un jeu qui emploie le principe du carré latin (combinaison de deux carrés latins dans le cas du carré gréco-latin, carré latin subdivisé en plusieurs régions dans le cas du sudoku).

La version moderne du sudoku [modifier]

Le sudoku a des ancêtres français qui remontent à 1895. Le jeu n’est apparemment pas une invention récente comme beaucoup le pensaient. À la fin du XIXe siècle, les Français jouaient en effet à remplir des grilles 9×9 divisées en 9 régions, très proches de ce jeu (mais les grilles initiales comprenaient des contraintes supplémentaires sur la solution), qui étaient publiées dans les grands quotidiens de l’époque, révèle Pour la Science dans son édition de juin 2006.

Selon le magazine, la grille la plus proche d’un sudoku, qui a été retrouvée par le Français Christian Boyer, est celle de B. Meyniel, publiée dans le quotidien La France du 6 juillet 1895. Une variante proche avait été publiée peu avant, en novembre 1892, dans Le Siècle, variante qui utilisait des nombres à deux chiffres.[2]

En 1979, un pigiste spécialisé dans les casse-têtes, Howard Garns, crée le premier jeu tel que nous le connaissons aujourd’hui. Dell Magazines l’introduit cette même année dans une publication destinée au marché new-yorkais, le Dell Pencil Puzzles and Word Games, sous le nom de Number Place. Nikoli l’introduit au Japon en avril 1984 dans le magazine Monthly Nikolist.

En 1986, Nikoli introduit deux nouveautés, qui rendront le jeu populaire : les cases dévoilées sont symétriquement distribuées autour du centre de la grille et leur nombre est au plus de 30. Cependant, on ignore toujours à cette époque, les autres symétries possibles sur la grille dont l’axe de symétrie est l’une des deux diagonales ou des deux médianes (la colonne et la ligne centrales). Aujourd’hui, la plupart des journaux importants au Japon, tel Asahi Shimbun, publient le jeu sous cette forme de symétrie centrale. Mais en dépit de cet aspect esthétique, les grilles sont généralement de mauvaise qualité, car les trois propriétés concernant la symétrie, l’unicité de la solution et l’irréductibilité ne peuvent être réalisées en même temps!

En 1989, Loadstar et Softdisk publient DigitHunt pour le Commodore 64, probablement le premier logiciel pour ordinateur personnel à générer des Sudoku. Une entreprise continue d’utiliser ce nom.

En 1995, Yoshimitsu Kanai publie un générateur logiciel sous le nom de Single Number (traduction anglaise de Sudoku), pour le Macintosh, en japonais et en anglais[3] et, en 1996, il récidive pour le Palm[4].

En 2005, Dell Magazines publie également deux magazines dédiés aux Sudoku : Original Sudoku et Extreme Sudoku. De plus, Kappa Publishing Group reprend les grilles de Nikoli dans GAMES Magazine sous le nom de Squared Away. Les journaux New York Post, USA Today et San Francisco Chronicle publient aussi ce jeu. Des grilles apparaissent dans certaines anthologies de jeux, telles que The Giant 1001 Puzzle Book (sous le nom de Nine Numbers).

C’est en juillet 2005 que le sudoku, publié par Sport cérébral, éditeur spécialisé dans les jeux de réflexion, arrive en France. Le premier numéro se vendra à 20 000 exemplaires, soit deux fois plus qu’à l’accoutumée lors de la sortie d’un nouveau jeu – un record, selon Xavier de Bure, directeur général de l’éditeur. La Provence publie les premières grilles quotidiennes le 27 juin 2005, suivi au cours de l’été 2005 par Le Figaro |Libération]], Nice Matin, 20 Minutes, Métro et Le Monde. Le magazine 1, 2, 3… Sudoku sortit son premier numéro en novembre 2005.

Le phénomène a également gagné la Suisse, Wayne Gould fournit des grilles au quotidien francophone Le Matin qui a vendu cette année-là 150 000 livres de sudoku. Le Temps, autre quotidien helvétique publie quant à lui des grilles de sudoku depuis septembre 2005.

Un autre ancêtre du sudoku : le carré latin magique [modifier]
Exemple d’expérience en carré latin magique relative à la comparaison de six éléments (par exemple six fumures différentes, numérotées de 1 à 6).
Exemple d’expérience en carré latin magique relative à la comparaison de six éléments (par exemple six fumures différentes, numérotées de 1 à 6).

Les expériences agronomiques en champ, généralement constituées d’un certain nombre de parcelles carrées ou rectangulaires, sont souvent organisées sous la forme de blocs aléatoires complets, c’est-à-dire de groupes de parcelles voisines au sein desquels les différents éléments à comparer (différentes fumures par exemple) sont tous présents et répartis au hasard.

Quand le nombre total de parcelles disponibles est égal à un carré (16, 25, 36, etc.), une autre possibilité correspond à la notion de carré latin, qui est tel que les différents éléments à comparer sont présents dans chacune des lignes et dans chacune des colonnes de parcelles.

La superposition de ces deux dispositifs peut donner naissance à ce qui a été appelé carré latin magique, notamment par W.T. Federer en 1955[5]. Dans l’exemple présenté ci-contre, chacun des six éléments étudiés (par exemple six fumures différentes) est présent dans chacun des six blocs de 2 x 3 parcelles, dans chacune des six lignes et dans chacune des six colonnes. Il s’agit strictement d’un sudoku 6 x 6.

Le sudoku classique n’est donc rien d’autre qu’un carré latin magique 9 x 9[6].

Popularité dans les médias [modifier]

Dès 1997, Wayne Gould, un Néo-Zélandais et juge à la retraite de Hong Kong, est intrigué par une grille partiellement remplie dans une librairie japonaise. Pendant six ans, il développe un programme qui génère automatiquement ces grilles. Sachant que les journaux britanniques publient des mots croisés et autres jeux semblables depuis longtemps, il promeut le sudoku auprès du journal The Times, lequel publie pour la première fois une grille le 12 novembre 2004.

Trois jours plus tard, The Daily Mail publie aussi une grille sous le nom Codenumber. The Daily Telegraph introduit sa première grille le 19 janvier 2005, suivi par les autres publications du Telegraph Group. Le 20 mai 2005, le Daily Telegraph de Sydney publie pour la première fois une grille.

C’est lorsque le Daily Telegraph publie des grilles sur une base quotidienne, à partir du 23 février 2005, tout en promouvant celui-ci sur sa page une, que les autres journaux britanniques commencent à y prêter attention. Le Daily Telegraph a continué sa campagne de promotion lorsqu’il a réalisé que ses ventes augmentaient simplement par la présence d’une grille de sudoku. The Times était plutôt discret sur l’immense popularité qui entourait son concours de sudoku. Il avait déjà prévu de tirer avantage de son avance en publiant un premier livre sur le sudoku.

En avril et mai 2005, le jeu était suffisamment populaire pour que plusieurs journaux nationaux le publient sur une base régulière. Au nombre de ceux-ci, on retrouve The Independent, The Guardian, The Sun (intitulé Sun Doku) et The Daily Mirror. Lorsque le mot Sudoku devient populaire au Royaume-Uni, le Daily Mail l’adopte à la place de Codenumber. Dès lors, les journaux ont rivalisé d’imagination pour pousser leurs grilles. The Times et Daily Mail affirment qu’ils sont les premiers à avoir publié une grille de sudoku, alors que The Guardian affirme, ironiquement, que ses grilles construites à la main, obtenues de Nikoli, apportent une meilleure expérience que les grilles générées à l’aide d’un logiciel.

La subite popularité du sudoku au Royaume-Uni a attiré son lot de commentaires dans les médias (voir Sources ci-dessous) et des parodies ont suivi, par exemple la section G2 du journal The Guardian’ s’annonce comme le premier supplément avec une grille par page[7]. Le sudoku est devenu particulièrement visible tout de suite après les élections de 2005 au Royaume-Uni, incitant quelques commentateurs à affirmer qu’il remplissait un besoin chez le lectorat politique. Une autre explication suggère qu’il attire et retient l’attention des lecteurs, plusieurs se sentant de plus en plus satisfaits lorsque la solution se dessine. The Times estime que les lecteurs apprécient à la fois les grilles faciles et difficiles. En conséquence, il les publie côte à côte depuis le 20 juin 2005.

La télévision britannique s’est empressée de surfer sur la vague de popularité et Sky One diffuse la première émission sur le sudoku, Sudoku Live, le 1er juillet 2005, que le mathématicien Carol Vorderman présente. Neuf équipes de neuf joueurs, dont une vedette, chacune représentant une région géographique, tentent de compléter une grille de sudoku. Chaque joueur a en main un appareil qui lui permet de saisir un chiffre dans l’une des quatre cellules dont il est responsable. Échanger avec les autres membres de l’équipe est permis mais, la familiarité manquant, les compétiteurs ne le font pas. Également, l’auditoire à la maison participe à une autre compétition interactive en même temps. Sky One a tenté de créer un engouement[8] pour son émission par le biais d’une énorme grille de 84 m de côté. Cependant, il avait 1 905 solutions.

Cette brusque augmentation de popularité dans les journaux britanniques et internationaux fait que le sudoku est considéré comme le « cube de Rubik du XXIe siècle » (traduction libre de « the Rubik’s cube of the 21st century »). À titre d’exemple, Wayne Gould fournit fin 2005 des grilles pour environ 70 quotidiens dans 27 pays. Le développement de cette société a été financé en partie par le gouvernement britannique qui y voit un moyen de prévention des maladies séniles (Alzheimer en particulier).

Le 28 novembre 2005, la Télévision suisse romande lance une émission télévisée quotidienne, Su/do/ku, où deux candidats s’affrontent sur 5 jours, à raison de 3 manches de 8 minutes chaque jour. Toutefois, la difficulté pour faire passer ce genre de jeu à la télévision entraînera l’arrêt de l’émission après quelques semaines.

Des championnats nationaux sont également organisés comme le 1er championnat de France de sudoku (Paris, 18 décembre 2005) remporté par Juliette Thery, 19 ans. Cette compétition organisée par Sport cérébral récompense le meilleur joueur de l’année. C’est l’agence de communication Décollage vertical qui a mis en place cet évènement unique en France. Depuis, de nombreux autres tournois ont été organisés en France.

Variantes [modifier]
Un sudoku diagonal résolu. Les chiffres varient de 1 à 9 en diagonale, ce qui apporte une aide supplémentaire pour le résoudre.
Un sudoku diagonal résolu. Les chiffres varient de 1 à 9 en diagonale, ce qui apporte une aide supplémentaire pour le résoudre.
Un sudoku irrégulier
Un sudoku irrégulier

Bien que les grilles classiques soient les plus communes, plusieurs variantes existent :

* 2×2 ou “Sudoku binaire”, contenant des régions 1×1 (version pleine d’ironie) ;
* 4×4 contenant des régions 2×2 (généralement pour les enfants) ;
* 5×5 contenant des régions en forme de pentamino ont été publiés sous le nom Logi-5;
* 6×6 contenant des régions 2×3 (proposée lors du World Puzzle Championship) ;
* 7×7 avec six régions en forme d’hexamino et une région disjointe (proposée lors du World Puzzle Championship) ;
* 9×9 avec des régions en forme de ennéamino ;
* 16×16 avec des régions 4×4 (appelées Number Place Challenger et publiées par Dell, ou appelées parfois Super Sudoku), (ou encore Sudoku Hexadécimal utilisant une notation en base 16 (Chiffre de 0 à 9 + lettres de A à F) ;
* 25×25 avec des régions 5×5 (appelées Sudoku the Giant et publiées par Nikoli) ;
* une variante impose de plus que les chiffres dans les diagonales principales soient uniques. Le Number Place Challenger, mentionné précédemment, et le Sudoku X du Daily Mail, une grille 6×6, appartiennent à cette catégorie ;
* 8×8 contenant des régions 2×4 et 4×2, et où les rangées, les colonnes, régions et les diagonales principales contiennent un chiffre unique
* une méta-grille composée de cinq grilles 9×9 en quinconce qui se chevauchent aux coins est publiée au Japon sous le nom de Gattai 5 (qui signifie « cinq fusionnés ») ou Samuraï. Dans le journal The Times, cette forme est appelée le Samurai Su Doku[9].
* des grilles à régions rectangulaires : si une région est de dimensions L×C cases, la grille globale se décompose en C×L régions ; les valeurs à remplir vont alors de 1 à C×L ;
* Dion Church a créé une grille 3D, que le Daily Telegraph a publiée en mai 2005. Le logiciel ksudoku appelle de telle grilles roxdoku et les génère automatiquement.
* le kamaji est une dérivation récente de sudoku basé sur le principe des sommes de chiffres.
* irrégulier, avec des formats différents.
* diagonal, avec l’obligation de caser les chiffres de 1 à 9 en diagonale, en plus des règles “classiques”.

Au Japon, d’autres variantes sont publiées. En voici une liste incomplète :

* Grilles connectées séquentiellement : plusieurs grilles 9×9 sont résolues consécutivement, mais seul la première a suffisamment de dévoilés pour permettre de résoudre logiquement. Une fois résolue, certains chiffres sont copiés vers le suivant. Cette formule impose au joueur de faire des allers et des retours entre des grilles partiellement résolues.
* Grilles très grandes qui consistent en de multiples grilles qui se chevauchent (habituellement 9×9). Des grilles constituées de 20 à 50, ou plus, sont courantes. La taille des régions qui se chevauchent varie (deux grilles 9×9 peuvent partager 9, 18 ou 36 cellules). Souvent, il n’y a aucun dévoilé dans ces régions.
* Grilles habituelles où un chiffre est membre de quatre groupes, au lieu des trois habituels (rangées, colonnes et régions) : les chiffres situés aux mêmes positions relatives dans une région ne doivent pas correspondre. Ces grilles sont habituellement imprimées en couleur, chaque groupe disjoint partageant une couleur pour faciliter la lecture.

La trousse de jeux pour participer au World Puzzle Championship de 2005 contient une variante intitulée Digital Number Place : plutôt que de contenir des dévoilés, la plupart des cellules contiennent un chiffre partiellement dessiné qui emprunte à la graphie de l’affichage à sept segments.

Le 31 août 2005, The Times a entamé la publication du Killer Su Doku, aussi nommé Samunamupure (qui signifie « lieu de sommation »), lequel indique la somme de cellules regroupées, ce qui ajoute un supplément de difficulté dans la recherche de la solution, bien que cela puisse aider à résoudre. Les autres règles s’appliquent.

Variantes alphabétiques [modifier]

Des variantes alphabétiques, qui utilisent des lettres plutôt que des chiffres, sont aussi publiées. The Guardian les appelle Godoku et les qualifie de démoniaques. Knight Features lui préfère le terme Sudoku Word[10]. Le Wordoku[11] de Top Notch dévoile les lettres, dans le désordre, d’un mot qui court du coin gauche supérieur au coin droit inférieur. Un joueur ayant une bonne culture peut le trouver et utiliser sa découverte pour avancer vers la solution.

En français, cette variante alphabétique porte divers noms comme Sudoku lettres, Mokitu (Télé 7 jours) ou Mysmo (Libération). Certaines grilles se limitent aux mots ne comportant que des lettres différentes. D’autres acceptent des mots comportant plusieurs fois la même lettre auquel cas elle a à chaque fois une graphie différente, par exemple : MAHaRADJa.

Le Code Doku[12] conçu par Steve Schaefer contient une phrase complète, alors que le Super Wordoku[13] de Top Notch contient deux mots de neuf lettres, chacun se trouvant sur l’une des diagonales principales. Ces jeux ne sont pas considérés comme de vrais sudoku par les puristes, car la logique n’est pas suffisante pour les résoudre, même s’ils ont une solution unique. Top Notch affirme que ces jeux sont conçus de façon à bloquer les solutions composées par des logiciels de résolution automatique.
Icône de détail Article détaillé : Mojidoku.

Nombre de grilles complètes possibles [modifier]

Il est évident que le nombre de grilles complètes est inférieur au nombre de façons de placer neuf chiffres 1, neuf chiffres 2…, neuf chiffres 9 dans une grille de 81 cases. Le nombre de grilles est donc très inférieur à

\frac{81!}{9!^9} \approx 5,31306887 \times 10^{70}

En effet, dans ce décompte, on ne tient compte d’aucune des contraintes d’unicité.

Le nombre de grilles complètes possibles est également inférieur au nombre de carrés latins de côté 9.

Enfin, le nombre de grilles complètes possibles est inférieur à 9!9 qui correspond au nombre de façons de construire les régions sans tenir compte des contraintes sur les lignes et les colonnes.

En 2005, Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis ont prouvé[14] que ce nombre de grilles était de :[15]

\mathbb{N} = 6\;670\;903\;752\;021\;072\;936\;960 \approx 6,67 \times 10^{21}

Ce nombre \mathbb{N} est égal à :

9!×722×27×27 704 267 971

Le dernier facteur est un nombre premier. Ce résultat a été prouvé grâce à une recherche exhaustive. Frazer Jarvis a ensuite considérablement simplifié la preuve grâce à une analyse détaillée. La démonstration a été validée de manière indépendante par Ed Russell. Jarvis et Russell ont par la suite montré qu’en tenant compte des symétries, il y avait 5 472 730 538 solutions[16].

Quant au problème suivant, il semble non résolu : si on s’intéresse au nombre de problèmes proposables, ce nombre est inconnu ; en revanche, on sait qu’il est nettement plus important que le nombre \mathbb{N} indiqué ci-dessus car il existe de très nombreuses façons de présenter des grilles initiales dont la solution (unique) conduit à la même grille terminée (complète) (en revanche, il est facile de montrer, sur certains exemples de grilles complètes, à quel point on peut, pour une même grille complète, présenter des grilles initiales de difficultés tout à fait contrastées, depuis les grilles pour débutants jusqu’aux grilles dites diaboliques ; il est en tout cas très facile, connaissant une grille initiale diabolique, de fabriquer une grille pour débutant dont la solution unique complète soit identique à celle de la grille diabolique choisie !).

Autre problème non résolu : à cette date, aucun résultat n’existe sur le nombre de grilles complètes dans un super sudoku (grille 16 × 16).

Le problème de savoir combien de cases initiales remplies sont nécessaires pour conduire à une solution unique est, à ce jour, sans réponse sûre. Le meilleur résultat, obtenu par des Japonais, est de 17 cases sans contrainte de symétrie. [17]‘[18]. Rien ne dit que ce ne soit pas possible avec moins de nombres.

Enfin, Gordon Royle considère, à juste titre, que deux résolutions sont considérées comme différentes si elles ne peuvent pas être transformées l’une en l’autre (ou l’inverse) grâce à une combinaison quelconque des six opérations suivantes :

1. permutations des 9 nombres
2. échange des lignes avec les colonnes (transposition)
3. permutation des lignes dans un seul bloc
4. permutation des colonnes dans un seul bloc
5. permutation des blocs sur une ligne de blocs
6. permutation des blocs sur une colonne de blocs

On remarque l’analogie avec les opérations matricielles en algèbre linéaire.

Mathématiques [modifier]

Le problème de placer des chiffres sur une grille de n²×n² comprenant n×n régions est prouvé NP-complet[19].

Le problème de la résolution de tout sudoku peut être formalisé de façon équivalente par un problème de coloration de graphe : le but, dans la version classique du jeu, est d’appliquer 9 couleurs sur un graphe donné, à partir d’un coloriage partiel (la configuration initiale de la grille). Ce graphe possède 81 sommets, un par cellule. Chacune des cases du sudoku peut être étiquetée avec un couple ordonné (x, y), où x et y sont des entiers compris entre 1 et 9. Deux sommets distincts étiquetés par (x, y) et (x’, y’) sont reliés par une arête si et seulement si :

* x = x’ (les deux cellules appartiennent à la même ligne) ou,
* y = y’ (les deux cellules appartiennent à la même colonne) ou,
* \left\lceil {\frac{x-1}{3}} \right\rceil = \left\lceil \frac{x’-1}{3} \right\rceil et \left\lceil \frac{y-1}{3} \right\rceil = \left\lceil \frac{y’-1}{3} \right\rceil (les deux cellules appartiennent à la même région). La grille se complète en affectant un entier entre 1 et 9 pour chaque sommet, de façon que tous les sommets liés par une arête ne partagent pas le même entier.

Une grille solution est aussi un carré latin. La relation entre les deux théories est désormais complètement connue, depuis que D. Berthier a démontré, dans “The Hidden Logic of Sudoku”[20], qu’une formule logique du premier ordre qui ne mentionne pas les blocs (ou régions) est valide pour le Sudoku si et seulement si elle est valide pour les carrés latins.

Il y a notablement moins de grilles solutions que de carrés latins, car le sudoku impose des contraintes supplémentaires (Voir ci dessus point 4 : nombre de grilles complètes possibles).

Le nombre maximum de dévoilés sans qu’une solution unique apparaisse immédiatement, peu importe la variante, est la taille de la grille moins 4 : si deux paires de candidats ne sont pas inscrits et que les cellules vides occupent les coins d’un rectangle, et que exactement deux cellules sont dans une région, alors il existe deux façons d’inscrire les candidats. L’opposé de ce problème, à savoir le nombre minimum de dévoilés pour garantir une solution unique, est un problème non résolu, bien que des enthousiastes japonais aient découvert une grille 9×9 sans symétrie qui contient seulement 17 dévoilés[21]‘[22], alors que 18 est le nombre minimum de dévoilés pour les grilles 9×9 symétriques.
Icône de détail Article détaillé : Mathématiques du Sudoku.

Règles et terminologie [modifier]

La plupart du temps, le jeu est proposé sous la forme d’une grille de 9×9, et composé de sous-grilles de 3×3, appelées « régions ». Quelques cellules contiennent des chiffres, dits « dévoilés ». Le but est de remplir les cellules vides, un chiffre dans chacune, de façon à ce que chaque rangée, chaque colonne et chaque région soient composées d’un seul chiffre allant de 1 à 9. En conséquence, chaque chiffre dans la solution apparaît une seule fois selon les trois « directions », d’où le nom « chiffre unique ». Lorsqu’un chiffre peut s’inscrire dans une cellule, on dit qu’il est candidat.

Méthode de résolution [modifier]
La région en haut à droite doit contenir un 5. En éliminant les rangées et les colonnes en regard qui contiennent un 5, le joueur élimine toutes les cellules vides qui ne peuvent contenir ce 5. Il ne reste donc qu’une seule cellule d’accueil, en vert.
La région en haut à droite doit contenir un 5. En éliminant les rangées et les colonnes en regard qui contiennent un 5, le joueur élimine toutes les cellules vides qui ne peuvent contenir ce 5. Il ne reste donc qu’une seule cellule d’accueil, en vert.

La méthode de résolution (voir l’article dédié) se ramène à trois procédés : recherche, candidature et analyse. L’approche de l’analyse peut être différente selon les concepts qu’elle met en œuvre et selon les représentations sur lesquelles elle s’appuie.

Recherche [modifier]

La recherche est faite au début du jeu et périodiquement pendant le remplissage de la grille. Plusieurs recherches sont souvent nécessaires entre deux moments d’analyse. Cette recherche fait appel à deux techniques simples :

* Réduction par croix : il s’agit, pour chaque chiffre, d’éliminer les cellules où il ne peut pas se trouver. Pour cela, le chercheur trace un trait, imaginaire, sur chaque colonne et chaque ligne où le chiffre apparaît déjà. Les cases qui ne sont pas traversées par un trait sont celles où le chiffre peut encore être inséré. Cette méthode peut être utilisée pour remplir les cellules « les plus simples » en premier. Pour gagner du temps, le chercheur peut commencer par les chiffres les plus nombreux parmi les dévoilés, mais il est important de l’appliquer à chaque chiffre. Pour minimiser le temps de recherche aux autres étapes, cette étape doit être faite de façon systématique, en vérifiant pour tous les chiffres.

* Décompte de 1 à 9 pour chaque région, chaque rangée et chaque colonne. Cette étape permet de trouver les chiffres manquants (Le faire selon le dernier chiffre trouvé peut rendre plus rapide la recherche). Dans les grilles difficiles, le chiffre à inscrire peut être déterminé en faisant un décompte inversé, c’est-à-dire en tentant de trouver les chiffres qui ne peuvent apparaître dans la cellule, ce qui permet de connaître les chiffres candidats.

Les joueurs experts recherchent les « contingences » pendant la recherche, c’est-à-dire qu’ils tentent de déterminer les cellules candidates (au nombre de deux ou trois) pour un chiffre en particulier. Quand ces cellules sont toutes dans la même rangée (ou colonne), et une région, elles sont mises à profit pendant la réduction par croix et le décompte (voir (en) exemple). Les grilles les plus difficiles demandent de reconnaître les multiples contingences, souvent dans des directions différentes ou aux intersections. Ce qui oblige les joueurs à inscrire les candidats (méthode décrite ci-dessous).

Les grilles que l’on peut résoudre par la réduction par croix seulement sont considérées comme faciles, les plus difficiles exigent de faire appel à d’autres techniques.

Candidature [modifier]
Un exemple de la notation pointée

La recherche cesse lorsque aucun nouveau chiffre n’est inscrit. C’est à partir de ce moment qu’une autre technique doit prendre place. Plusieurs joueurs trouvent utile d’inscrire les chiffres candidats dans les cellules vides. Il y a deux notations utilisées : indicée et pointée.

* Pour la notation indicée, les candidats sont inscrits dans une cellule, chaque chiffre occupant ou non une place précise. L’inconvénient de cette méthode est que les journaux publient des grilles de petite taille, ce qui rend difficile l’inscription de plusieurs chiffres dans une même cellule. Plusieurs joueurs reproduisent à plus grande échelle de telles grilles ou ont recours à un crayon à pointe fine.
* Pour la notation pointée, les joueurs inscrivent des points dans les cellules vides. La position relative du point indique le chiffre manquant. Par exemple, pour indiquer 1, un point apparaît en haut à gauche dans la cellule. Cette notation permet de jouer directement avec une grille imprimée dans un journal. Cependant, elle demande une certaine dextérité, il est possible de mal placer un point dans un moment d’inattention et une petite marque faite par erreur peut mener à de la confusion. Certains joueurs préfèrent utiliser un stylo pour limiter les fautes.

Analyse [modifier]

Les deux thèmes de ce procédé sont l’élimination et l’hypothèse (ce dernier procédé peut être évité si l’on est suffisamment entraîné).

* Élimination : la recherche de la solution se fait en éliminant successivement les candidats d’une cellule de façon à ne retenir qu’un seul candidat. Une fois ce candidat trouvé, une autre recherche devrait être effectuée de façon à déterminer les conséquences sur les autres cellules. Il y a plusieurs techniques d’élimination qui s’appuient sur les règles ci-dessous, lesquelles ont d’utiles corollaires :

1. Un ensemble donné de n cellules dans une rangée, une colonne ou une région, ne peut recevoir que n chiffres différents. Cette règle est à la base de la technique d’ « élimination du candidat orphelin », discutée ci-dessous.
2. Chaque candidat doit ultimement appartenir à un modèle auto-consistant et indépendant. Cette règle est à la base des techniques d’analyse avancées, lesquelles demandent d’inspecter l’ensemble de toutes les possibilités pour un candidat. Il n’y a qu’un nombre fini de « circuits fermés » ou possibilités de grilles « n×n » qui existent. Cette règle a donné naissance aux méthodes X-wing et Swordfish, entre autres. Si un tel modèle est identifié, alors l’élimination de candidats est souvent possible.
3. Un chiffre donné ne peut recevoir qu’une seule position dans sa case, ligne ou colonne, les autres emplacements candidats entrant en contradiction avec les éliminations déjà effectuées.

* L’une des techniques les plus utilisées est l’ « élimination du candidat orphelin ». Les cellules avec un même ensemble de candidats sont dites couplées si le nombre de candidats dans chacune d’elle est égal au nombre de cellules qui peuvent les accueillir. Par exemple, deux cellules sont couplées si elles contiennent une paire unique de candidats (p, q) dans une rangée, une colonne ou une région; trois cellules sont dites couplées si elles contiennent un triplet unique de candidats (p, q, r). Ces chiffres ne peuvent apparaître ailleurs, car il y aurait conflit selon la rangée, la colonne ou la région. Pour cette raison, les candidats (p, q, r) qui se trouvent dans les autres cellules sont à éliminer. Ce principe vaut avec des sous-ensembles de candidats : si trois cellules ont seulement { (p, q, r), (p, q), (q, r) }, ou { (p, r), (q, r), (p, q) }, tous les candidats de cet ensemble qui se trouvent dans les autres cellules sont à éliminer.

*
o Un deuxième principe découle du principe précédent. Si le nombre de cellules dans une rangée, une colonne ou une région, est égal à la taille d’un ensemble de candidats (on parle alors de groupe de multiples numériquement liés), les cellules et les chiffres sont couplés et seulement ces chiffres apparaîtront dans les cellules. Tous les autres candidats sont à éliminer. Par exemple, si (p, q) peut seulement apparaître dans deux cellules (d’une rangée, d’une colonne ou d’une région), les autres candidats sont à éliminer.

Le premier principe s’appuie sur le concept de « chiffres couplés uniquement », alors que le second s’appuie sur le concept de « cellules couplées uniquement ». Les techniques avancées s’appuient sur ces concepts et englobent de multiples rangées, de multiples colonnes et de multiples régions.

* Avec l’approche par hypothèse, une cellule avec seulement deux candidats est choisie et l’un des deux chiffres est inscrit dans la cellule. Les étapes précédentes sont répétées et mènent soit à une contradiction (chiffre dupliqué ou cellule sans candidat), soit à une proposition valide. Évidemment, dans le cas d’une contradiction, le deuxième chiffre fait partie de la solution. L’algorithme de Nishio est une forme épurée de cette approche : Pour chaque candidat d’une cellule, est-ce qu’insérer un chiffre en particulier prévient l’inscription de ce candidat ailleurs dans la grille ? Si la réponse est oui, alors le candidat est éliminé.

L’approche par hypothèse demande d’utiliser un crayon et une gomme à effacer. Les puristes la rejettent, car elle est une approche par essais et erreurs, alors que la plupart des grilles publiées font appel à la logique seulement pour être résolues. Cependant, cette approche a le mérite de souvent mener à la solution plus rapidement.

C’est à chaque joueur de trouver une méthode qui lui donne les meilleurs résultats. Certains développeront une méthode qui réduit les inconvénients des propositions précédentes. Par exemple, certains trouveront ennuyeux de devoir inscrire tous les candidats dans toutes les cellules. L’approche par hypothèse demande d’être organisé. L’idéal est de trouver une façon de faire qui minimise le décompte, le nombre de candidats et le nombre d’hypothèses.

En principe, ces trois procédés (candidat unique par croisement+candidat unique par comptage et élimination+groupes indépendants de multiples numériquement liés traités selon une ou plusieurs dimensions) suffisent pour réussir intégralement une grille. Mais il y a des situations où il semble qu’il n’est plus possible d’avancer. Voici un début d’exemple :

Vous avez trouvé à partir des chiffres déjà révélés selon les régions et les colonnes, les multiples 123-12-1456-479-23-56-2456-178-89 écrits sur toute une ligne pour une certaine grille. D’abord, on relève les 123, 12 et 23 numériquement liés ; trois multiples formés des trois chiffres 1, 2 et 3, qui vont occuper chacun l’une des trois cases. Donc la ligne se simplifie en 123-12-456-479-23-56-456-78-89. Ensuite, on considère les multiples 456, 56 et 456 qui sont aussi numériquement liés, mais leur groupe est indépendant de celui des multiples formés à la base des chiffres 1, 2 et 3.Pour la même raison, la ligne se simplifie en 123-12-456-79-23-56-456-78-89. Il reste donc trois multiples 79, 78 et 89 qui sont numériquement liés, mais constituent un troisième groupe indépendant des deux premiers. À ce niveau, on dira que l’on a rempli la ligne de façon optimale. Les simplifications ainsi effectuées vont se répercuter sur les régions, les colonnes puis sur les autres lignes puis de nouveau sur les régions, les colonnes et les lignes si l’on arrive à dégager chaque fois, de nouveaux groupes indépendants. S’il reste toujours des cases sans candidat unique, alors, on pourra attaquer par traitement des multiples en considérant deux dimensions à la fois; colonnes X lignes (principe de l’unicité, X-Wing par exemple), colonnes X régions (doublons, jumeaux par exemple), lignes X régions (idem). Si la solution n’apparaît pas toujours, alors, désormais, vous êtes invité à utiliser les techniques de traitement à trois dimensions (lignes X colonnes X régions) dont par exemple, celles découlant de l’utilisation des chemins (théorie basée sur la logique bivalente; il y est ou il n’y est pas).

Et si votre labeur n’aboutit pas toujours à la grille-solution, alors, c’est à cause de l’une des deux raisons suivantes :

* Vous vous êtes bien appliqué et vous avez rempli entièrement la grille de façon optimale par des chiffres uniques dans certaines cases et par des multiples dans les autres. Mais, tous les groupes des multiples que vous avez inscrits sont indépendants. Dans ce cas, Vous avez affaire à une grille présentant plusieurs solutions ! Ce n’est pas un « bon » Su-Doku et le problème ne devait pas être proposé, malheureusement !
* Toutes les cases de votre grille ont des candidats uniques ou multiples, mais, faute d’expérience, vous n’arrivez pas à discerner facilement des groupes indépendants de multiples numériquement liés. Dans ce cas, vous pouvez procéder par la disjonction de l’un des multiples. C’est-à-dire faire une hypothèse sur ses chiffres, et voir l’effet qui va se répercuter sur les autres multiples. Si vous avez vraiment un « bon » jeu de Su-Doku, alors un seul chiffre du multiple en question conduira à la solution du problème, tandis que pour tous les autres, on aboutira à des situations de blocage ! Dans le cas contraire, le problème ne mérite pas d’être posé ! Par principe !

Mais le fait de formuler une hypothèse sur le chiffre à choisir parmi ceux d’un multiple donné ne garantit pas toujours la simplification des autres multiples et risque d’aboutir sur de nouvelles hypothèses à faire, ce qui augmente rapidement le nombre de grilles à examiner successivement! Pire encore, les grilles obtenues peuvent être d’un niveau médiocre et donc sans intérêt intellectuel!

Symétries généralisées et tableau de résolution étendu [modifier]

Dans “La logique cachée du Sudoku”, un livre en anglais (“The Hidden Logic of Sudoku”[20]) basé sur une formalisation logique systématique du jeu, toutes ses symétries généralisées ont été explicitées, en particulier entre les lignes et les nombres, et entre les colonnes et les nombres. Une nouvelle méthode de résolution a été développée, basée sur leur exploitation systématique. Une grille de résolution étendue (comportant trois grilles au lieu d’une seule) a été conçue, qui fait apparaître les liens de conjugaison comme des cases à deux candidats et peut faciliter l’application de la méthode (sans être absolument nécessaire). De la sorte, les sous-ensembles cachés ainsi que les X-wings, Swordfish et Jellysfish, mais pas TPU (la technique découlant du principe de l’unicité de la solution), apparaissent tous comme de simples Paires, Triplets ou Quadruplets. Dans un cadre général pour traiter des chaînes, ces symétries ont été utilisées pour introduire de nouvelles règles de résolution, comme les chaînes xy cachées. Cette méthode a été implémentée dans un solveur, SudoRules, basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle et simulant un joueur humain.

Grille-Conjointe; changer de situation pour résolution plus poussée [modifier]

La stratégie des symétries généralisées entre lignes, colonnes et chiffres omet un quatrième angle d’attaque pour résoudre d’autres cas de figures plus complexes: considérer une région et un chiffre et repérer la bonne cellule. Farid MITA, l’auteur du manuel “Stratégie de résolution d’une grille de Sudoku”[23] propose l’utilisation de la Grille-Conjointe; c’est un tableau de 9 rangées horizontales (une rangée par chiffre) croisées avec 9 rangées verticales (une rangée par région) dont les cellules reçoivent les coordonnées de la case associée au chiffre et région donnés dans la grille normale du problème proposé. De par sa construction, la grille-conjointe englobe les techniques de résolution les plus efficaces dont X-wing, Swordfish et bien d’autres inconnues par le commun des joueurs, mais “ignore” la TPU (technique découlant du principe de l’unicité de la solution), comme d’ailleurs la stratégie des Symétries généralisées. L’auteur suggère de classer la TPU dans une catégorie à part!

Stratégie des chemins; résoudre des cas plus complexes [modifier]

Si l’adoption du tableau étendu de résolution utilisant les symétries généralisées et/ou de la grille-conjointe permettent de résoudre les grilles fréquemment proposées dans les journaux, magazines et sites, il existe bien des cas de figure où ces deux stratégies butent sans pouvoir atteindre la solution finale. Avouons que ces deux stratégies ont le mérite de nous faire découvrir de nouveaux procédés de résolution mettant en jeu deux dimensions (lignes X colonnes, lignes X régions et colonnes X régions) sur la grille-problème normale ou initiale, alors qu’il ne met en oeuvre qu’une seule dimension (rangée horizontale ou verticale dans chacun des deux tableaux additionnels de la stratégie des symétries généralisées ou sur la grille-conjointe) dont le traitement est relativement facile à mener manuellement et à programmer sur les logiciels (élimination à cause des multiples nues ou dévoilement par dégraissage de multiples).

La stratégie adoptée pour ces cas de figures plus complexes consiste à prendre en considération les trois dimensions à la fois (lignes X colonnes X régions). Il faut pouvoir ” sauter” d’une région à une autre, à travers les cases, en utilisant des “passerelles” matérialisées soit par une ligne, une colonne ou une région. Bref, il faut se créer des “chemins” entre les différentes cases. Ainsi, on reconnaîtra des procédés similaires à ceux déjà utilisés par traitement à deux dimensions dont le X-Wing par exemple (les sommets ne sont plus ceux d’un rectangle, mais parmi ceux d’un polygone).

Précisons que cette stratégie est basée sur la logique bivalente (pour un chiffre N fixé et une case donnée de multiples, p:”N est la valeur” et non(p): “N n’est pas la valeur”).

Vu d’un certain angle, il s’agit de faire superposer deux ou plusieurs grilles sur la même grille-problème initiale, de faire une conjugaison logique des différentes propositions (concrétisées par des chemins) et de déterminer celles des grilles qui aboutissent à une contradiction avec l’une des règles qui régissent le jeu sudoku. C’est donc comme si l’on procédait par formulation par hypothèse, mais d’une manière “cachée” ! Il faut avouer que cette manière de faire procure plus de plaisir à jouer et à appliquer des procédés que d’émettre des hypothèses pour obtenir des grilles “pauvres” au niveau intellectuel.

Une technique « à part » : principe de l’unicité de la solution [modifier]

Il existe une classe de techniques, bien qu’en mettant en jeu deux dimensions seulement (lignes X colonnes, lignes X régions ou colonnes X régions) ne peuvent être retrouvées ni traduites d’une certaine manière dans le tableau étendu de résolution ou sur la grille-conjointe. On cite comme exemple, la technique découlant du principe de l’unicité de la solution. Le cas de figure est le suivant : dans quatre cases, sommets d’un rectangle, on trouve trois même paires ab, ab, ab et cette même paire mêlée avec d’autre chiffres x,…..,z sous forme abx….z. Alors, en vertu du principe de l’unicité de la solution, dans ce quatrième sommet, on peut chasser sans risque les deux chiffres a et b. Car au cas contraire, la grille aboutirait à au moins deux solutions.

Dans certains cas, cette technique peut être utilisé sans le savoir, s’il est possible de suivre un chemin (ici une boucle) de l’un des sommets vers lui-même. Parfois, on est amené à utiliser cette même technique sur des polygones au lieu d’un rectangle ; une généralisation est donc possible, mais utilisant la stratégie des chemins.

Stratégie de dernier recours : formulation claire et nette des hypothèses [modifier]

Certains journaux, magazines, sites et logiciels nous livrent des grilles dites « diaboliques ». En général, il n’en est rien ! Ces grilles peuvent être résolues par les techniques mises au point jusqu’à ce jour. Une grande majorité peut être remplie « mentalement » même !

Bref, une définition s’impose : une grille diabolique est celle qui ne peut être résolue par aucun des procédés mis au point jusqu’à ce jour, sauf par la formulation d’une ou de plusieurs hypothèses sur les chiffres à mettre dans une ou plusieurs cases, l’unicité de la solution pour la grille étant bien-entendu requise.

Désormais, c’est le seul moyen pour aboutir à la solution, en attendant l’élaboration de nouveaux procédés « manuels ».

Solutions logicielles [modifier]

Pour un informaticien, programmer la recherche d’une solution par le biais des contingences ou de multiples contingences (tel qu’exigé pour les problèmes les plus difficiles) est une tâche relativement simple. Un tel programme imite un joueur humain qui recherche une solution sans recourir au hasard.

Il est aussi relativement simple de concevoir un algorithme de recherche par backtracking. De façon habituelle, il suffit à l’algorithme de choisir 1 pour la première cellule, puis 2 pour la prochaine, ainsi de suite tant qu’aucune contradiction n’apparaît. Lorsqu’une contradiction apparaît, l’algorithme essaie une autre valeur pour la cellule qui amène la contradiction. Une fois toutes les possibilités épuisées pour cette cellule, l’algorithme « revient sur ses pas » et recommence avec l’avant-dernière cellule.

Bien que cet algorithme ne soit pas très efficace en théorie, il trouvera une solution s’il dispose de suffisamment de temps. Une grille 9×9 est habituellement résolue en moins de trois secondes avec un ordinateur personnel moderne qui a recours à un interpréteur, et en quelques millisecondes avec un langage compilé. Cependant, il existe des grilles qui sont particulièrement difficiles à résoudre par backtracking.Algorithmics of Sudoku#Solving sudokus by a brute-force algorithm

Cependant, un programme plus efficace s’appuiera sur les candidats potentiels pour chaque cellule, éliminant les candidats impossibles jusqu’à ce qu’un seul chiffre demeure. Connaissant ce chiffre, il peut trouver un autre chiffre pour une autre cellule, et ainsi de suite.

Une alternative au backtracking est de recourir aux méthodes préconisées par la programmation logique, telle qu’implantée par Prolog. Dans ce cas, le concepteur fournit au programme les contraintes de la grille (un chiffre par rangée, par colonne et par région ; les chiffres dévoilés) ; ce programme prendra les décisions pour résoudre le problème. Sachant que la plupart des grilles ont une solution unique, la recherche est certaine d’aboutir.

Donald Knuth a mis au point un algorithme qui fait appel aux listes doublement chaînées (les dancing links [24]), et qui se révèle très efficace pour résoudre ce type de problème. Il est démontré que cet algorithme est tout indiqué pour la résolution d’un Sudoku, ne prenant que quelques millisecondes. Grâce à sa vitesse, il est maintenant préféré par la plupart des concepteurs logiciels.

Degrés de difficulté [modifier]

Les grilles publiées mentionnent souvent un degré de difficulté. Celui-ci est calculé selon la facilité de résolution par une méthode logique. Étonnamment, le nombre de dévoilés n’a presque aucune incidence sur la difficulté d’une grille. Des grilles avec un petit nombre de chiffres peuvent être facilement résolues, alors que d’autres qui contiennent un nombre plus élevé de dévoilés que la moyenne peuvent être très difficiles à résoudre.

Connaissant la complexité des règles, les logiciels de résolution automatique peuvent estimer la difficulté pour un humain à trouver une solution. Cette estimation est en général suffisamment précise pour permettre aux éditeurs de la fournir. Quelques éditeurs en ligne fournissent également cette estimation.

Plusieurs facteurs influent sur la difficulté de ces problèmes . L’équation de base tient compte modulo une certaine pondération:

* du nombre de cellules à remplir ;
* du nombre de cellules remplies par élimination ;
* du nombre de groupes indépendants de multiples numériquement liés, traitables suivant une seule dimension; région, ligne ou colonne ;
* du nombre de groupes indépendants de multiples numériquement liés, traitables suivant deux dimensions à la fois; région X ligne, région X colonne ou colonne X ligne ;
* du nombre de groupes indépendants de multiples numériquement liés, traitables suivant les trois dimensions à la fois; région X ligne X colonne;
* du nombre d’hypothèses à faire en cas de blocage momentané ;
* du nombre d’itérations de l’heuristique de résolution ;
* du nombre de recherches à faire pour compléter la grille.

La question de la difficulté est très difficile et fait l’objet de nombreux débats dans les forums sur le Sudoku, car elle est liée aux concepts et représentations visuelles que chacun est prêt à adopter. Mais elle peut être complètement élucidée par l’adoption d’une hiérarchie (du simple au complexe) des techniques et procédés que l’on peut utiliser pour réussir une grille, et par notre manière de jouer en observant certaines règles de handicap, comme par exemple la résolution intégrale par raisonnement mental uniquement, ou l’interdiction absolue de reproduire la grille-problème en plusieurs grilles en faisant des hypothèses, etc.

En outre, il ne faut pas confondre “le niveau du joueur” avec “le degré de difficulté d’une grille”. Certains joueurs sont capables de réussir une grille en raisonnant mentalement, sans écrire de multiples dans les cases qui ne reçoivent par la suite, chacune, que le bon chiffre, alors que d’autres peinent avec des cases présentant plusieurs candidats, ou avec plusieurs grilles provenant des hypothèses gratuitement émises, ou élaborées selon les catégories (lignes, colonnes et régions) dont la grille-conjointe par exemple, qui englobe en fait un certain tableau étendu de résolution. C’est pourquoi on préfère classer les grilles-problèmes en cinq types, au sein desquels, on retrouve différents niveaux de difficulté(voir la typologie des grilles-problèmes de Su-Doku élaborée par Farid MITA)”[25]:

Type 1 [modifier]

Utilisation des techniques simples dont « la recherche de la bonne case pour un chiffre et une région donnés » par réduction par croix, et « la recherche, du bon chiffre pour une cellule donnée », par décompte, bien que cette dernière soit un peu plus fastidieuse que la première. En principe, pour ce type de grilles, le raisonnement se fait mentalement, sans que l’on soit obligé d’inscrire les candidats éventuels dans une cellule donnée, et le remplissage de la grille se fait progressivement en suivant l’une des innombrables pistes ou enchaînements qui se présentent. C’est ce type de grilles que vous trouvez fréquemment dans les sites, journaux et magazines ou générées par des logiciels, classant à tort certaines d’entre elles, dans la catégorie des “difficiles” ou même “diaboliques” ! La raison en est qu’il existe une classe de grilles de type 1, vraiment difficile à réussir par calcul mental. Et donc, ne sous-estimez pas les grilles de type 1 : il y en a des “faciles”, “moyennes” et même “difficiles”.

Type 2 [modifier]

Utilisation des techniques permettant le traitement des cellules-à-candidats-multiples selon une seule dimension ; ligne, colonne ou région, dont « l’élimination à cause des paires nues », «le dégraissage des candidats cachés » et « le dégraissage des paires camouflées ». Certaines grilles de type 2 peuvent être réussies, comme pour le type 1, mentalement. D’autres, d’un niveau supérieur, nécessitent que l’on inscrive, au fur et à mesure, les candidats dans les cellules d’une région, une ligne ou une colonne, sans toutefois le faire pour toutes les cellules vides, et voir si l’on peut simplifier les multiples par l’une des trois techniques précédentes. Les plus difficiles des grilles de ce type 2 ne se prêtent à la résolution qu’une fois toutes les cellules contiennent leurs candidats probables. Dans ce cas, il faut essayer d’arriver à la situation optimale de la grille : dans chaque catégorie (ligne, colonne et région), les groupes des « multiples numériquement liés » doivent être « indépendants». D’autres techniques simples de traitement selon une seule dimension peuvent être utilisées, dont « l’élimination à cause des triplets nus » et « le dégraissage des triplets camouflés ». Cette dernière est plus pénible à faire ! On pourra également éliminer certains chiffres par une technique simple de traitement, cette fois-ci, à deux dimensions ligne X région ou colonne X région : «la répartition d’un blocs en quatre domaines complémentaires ou alternés». Donc, si vous optez pour un exercice mental, ce type de grilles vous en propose de bien difficiles. Et si vous vous permettez d’inscrire les multiples dans les cellules, vous avez là de très beaux exercices d’entraînement sur la stratégie de traitement des « groupes indépendants de multiples numériquement liés ».

Type 3 [modifier]

Utilisation des techniques permettant la simplification des cellules-à-candidats-multiples, d’abord comme pour le type 2, selon une seule dimension ; ligne, colonne ou région, mais avec une taille plus grande dont « l’élimination à cause des quadruplets et quintuples nus » et «le dégraissage des quadruplets et quintuples cachés ». Procéder par cette dernière technique, qui est d’ailleurs plus fastidieuse à mener, c’est en fait utiliser « l’élimination à cause d’un ou de deux groupes nus » mais de taille inférieure !

Certaines grilles de type 3 nécessitent un traitement selon deux dimensions (lignes X colonnes, lignes X régions et/ou colonnes X régions) en utilisant des procédés beaucoup plus astucieux, mais justifiables dont X-Wing, Swordfish, Jellyfish, Squirmbag ou la TPU, la technique découlant du «principe de l’unicité de la solution ». Donc pour ce type de grilles, il ne faut pas espérer aboutir à la solution rien qu’en raisonnant mentalement, sans avoir dorénavant mis tous les candidats possibles dans toutes les cellules. Trois degrés de difficulté sont possibles, selon la taille des groupes nus ou camouflés, mais aussi selon leur nombre.

Type 4 [modifier]

La stratégie adoptée pour les grilles de ce type, présentant des cas de figures plus complexes, consiste à prendre en considération simultanément les trois dimensions (lignes X colonnes X régions). Il faut donc pouvoir “sauter” d’une région à une autre, à travers les cases, en utilisant des “passerelles” matérialisées soit par une ligne, une colonne ou une région. Bref, il faut se créer des “chemins” entre les différentes cases. Ainsi, on reconnaîtra des procédés similaires à ceux déjà utilisés par traitement à deux dimensions dont le X-Wing par exemple (les sommets ne sont plus ceux d’un rectangle, mais parmi ceux d’un polygone). Précisons que cette stratégie est basée sur la logique bivalente (pour un chiffre N fixé et une case donnée de multiples, p :”N est la valeur” ou non(p) : “N n’est pas la valeur”).

Vu d’un certain angle, il s’agit de superposer deux ou plusieurs grilles sur la même grille-problème initiale, de faire une conjugaison logique des différentes propositions (concrétisées par des chemins) et de déterminer celles des grilles qui aboutissent à une contradiction avec l’une des règles qui régissent le jeu sudoku, pour découvrir la bonne solution. C’est donc comme si l’on procède par formulation par hypothèse, mais d’une manière détournée ! Il faut avouer que cette manière de faire procure plus de plaisir à jouer et à appliquer des procédés que d’émettre des hypothèses pour obtenir des grilles “pauvres” au niveau intellectuel ! Utilisez des crayons de couleur. Ceux qui sont déjà initiés à cette technique reconnaîtront des grilles faciles, moyennes et même difficiles.

Type 5 [modifier]

Certains journaux, magazines, sites et logiciels nous livrent des grilles dites « diaboliques ». Le plus souvent, il n’en est rien de tel ! Ces grilles peuvent être résolues par les techniques mises au point jusqu’à ce jour. Une grande majorité peut être remplie « mentalement » même !

Bref, une définition s’impose : une grille diabolique est celle qui ne peut être résolue par aucun des procédés mis au point jusqu’à ce jour, sauf par la formulation d’une ou de plusieurs hypothèses sur les chiffres à mettre dans une ou plusieurs cases, l’unicité de la solution pour la grille étant bien-entendu requise.

Désormais, c’est le seul moyen pour aboutir à la solution, en attendant l’élaboration de nouveaux procédés « manuels ».

Signalons enfin, qu’au niveau de la construction des grilles-problèmes, il est fréquemment plus facile d’obtenir une grille de type 1, et presque rare de tomber sur une grille de type 4 ou 5. Les logiciels élaborés jusqu’à ce jour partent bien sûr des différents procédés de résolution, pour fabriquer un problème, mais le niveau souhaité baisse, hélas, généralement d’un ou même de deux degrés ! Statistiquement, on relève que la distribution de la fréquence par type tourne autour de 46%, 32%, 11%, 8% et 3%, du premier type au cinquième.

Construction [modifier]

Il semblerait que les grilles de Dell Magazines, le pionnier dans le domaine de la publication, soient générées par ordinateur. Elles sont habituellement composées de 30 chiffres dévoilés répartis au hasard. L’auteur des grilles est inconnu. Durant l’hiver 2000, Wei-Hwa Huang a affirmé qu’il était l’auteur du programme qui génère ces grilles; selon lui, les grilles antérieures étaient construites à la main. Le générateur serait écrit en C++ et, bien qu’il offre certaines options pour satisfaire le marché japonais (symétrie et moins de chiffres), Dell préfère ne pas les utiliser. Certains spéculent que Dell continue à utiliser ce programme, mais aucune preuve ne soutient leur affirmation.

Les sudoku de Nikoli, important créateur de sudoku au Japon, sont construits à la main, le nom de l’auteur apparaissant avec chaque grille publiée ; les dévoilés sont toujours présentés de façon symétrique. Cet exploit est possible en connaissant à l’avance l’endroit où seront les dévoilés et en affectant par la suite un chiffre aux cellules ainsi choisies. Le Number Place Challenger de Dell affiche aussi le nom de l’auteur. Les grilles publiées dans la plupart des journaux britanniques seraient générées automatiquement, mais font appel à la symétrie, ce qui laisserait sous-entendre qu’un humain les crée. The Guardian affirme que ses grilles sont créées à la main par des Japonais, mais aucune mention de l’auteur n’est faite. Elles seraient construites par des gens de Nikoli. The Guardian a affirmé que puisqu’ils sont construits à la main, ils contiennent de « subtiles allusions » hautement improbables dans les grilles construites par ordinateur.

Il est possible de construire des grilles avec de multiples solutions et sans solution, mais celles-ci ne sont pas considérées comme d’authentiques sudoku. Comme pour les autres jeux logiques, une solution unique est requise. Une grande attention est donc nécessaire lors de la construction d’une grille, puisqu’un seul chiffre mal placé risque de rendre la résolution de celle-ci impossible.

Rappelons que le principe fondamental du Su-Doku réside dans le fait que seules sont permises comme problèmes à résoudre, les grilles qui aboutissent à une et une seule solution ! Cependant, certains sites et magazines spécialisés publient des grilles-problèmes proposant moins de données au départ et présentant même des symétries pouvant être plus attrayantes, parfois fantaisistes, mais admettant plus d’une solution. Mais, il n’y a pas que le problème de l’unicité de la solution, certains joueurs expérimentés ont remarqué que, pour certaines grilles, un ou plusieurs chiffres sont révélés de façon “gratuite”, car ils peuvent être déduits logiquement en considérant le reste des chiffres de la grille. Ce qui veut dire qu’on pouvait proposer la grille avec moins de chiffres tout en garantissant l’aboutissement à la même et unique solution. C’est une question d’optimisation des grilles-problèmes: moins de chiffres dont aucun ne peut être déduit à partir des autres. C’est pourquoi, Farid MITA “[26] retient trois critères pour classer les grilles-problèmes en énonçant: “Une grille-problème est dite de bonne qualité si d’abord, elle aboutit à une seule solution, ensuite si elle est irréductible et enfin, si sa résolution ne nécéssite à aucun moment la formulation d’hypothèse.”

Voir aussi [modifier]

Pages sur ce thème sur les projets Wikimedia :

Ressources multimédia sur Commons.

Définition sur Wiktionnaire.

Articles connexes [modifier]

Présentation globale et détaillée des diverses méthodes de résolution d’un sudoku
Mathématiques du Sudoku
[ Enrouler ]
v · d · m
Jeux de logique japonais
Akari (Light Up) ??? • Futoshiki ??? • Hashiwokakero ????? • Hitori ???????? • Kakuro ???? • Masyu ??? • Mojidoku • Mosaïku • Nurikabe ???? • Sangaku ?? • Slither Link ??????? • Sudoku ??

Hors origine japonaise

* Nombres fléchés
* Carré latin
* énigmes géométriques.

Créateurs et éditeurs de jeux

* Michael Mepham
* Wayne Gould
* Nikoli
* Dell Magazines

Liens externes [modifier]

* Catégorie Sudoku en ligne de l’annuaire dmoz.
* Fédération française de sudoku

Bibliographie [modifier]

* Précis de sudoku, Narendra Jussien, Hermès Lavoisier, 2006, 188 pages (ISBN 2-7462-1559-4)
* The Hidden Logic of Sudoku, Denis Berthier, Lulu Publishers, May 2007, 384 pages (ISBN 978-1-84753-472-9)

Sources [modifier]

* (en) Indices pour résoudre au site Puzzle Japan
* (en) Site de Wayne Gould Il a promu le sudoku. Le site contient aussi un forum sur les techniques de solution et la mathématique du Sudoku.
* (en) Page de Frazer Jarvis Contient des programmes, des données et un article rédigé avec Bertram Felgenhauer qui présente différents résultats.
* À propos de la soudaine popularité du sudoku au Royaume-Uni :
o (en) The puzzling popularity of Su Doku BBC News, 22 avril 2005
o (en) So You Thought Sudoku Came From the Land of the Rising Sun… The Observer, 15 mai 2005
* « Le tsunami du sudoku » article du Pour la science n°338 décembre 2005, p. 144